Jean‑Pierre Serre refined Frey’s idea into the , and Ken Ribet proved it. Ribet’s theorem showed that the Frey curve from a hypothetical Fermat solution would indeed be non‑modular. Therefore, proving the Taniyama–Shimura–Weil conjecture for a certain class of elliptic curves (semistable ones) would immediately prove Fermat’s Last Theorem.

Ông viết bên lề cuốn sách Arithmetica của Diophantus rằng: "Tôi đã có một chứng minh thực sự tuyệt vời cho mệnh đề này, nhưng lề sách quá hẹp không đủ chỗ để viết" .

— if you type these words into a search engine, you are asking for one of the most dramatic stories in all of mathematics. You are asking for the proof of Fermat's Last Theorem (FLT) .

Tháng 6 năm 1993, tại Viện Newton ở Cambridge, Wiles thực hiện chuỗi 3 bài thuyết trình. Câu kết luận của ông làm cả hội trường bùng nổ: "Tôi nghĩ tôi sẽ dừng lại ở đây" . Ông đã chứng minh được Định lý Fermat.